03.03. Συμμετρικά σχήματα

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

18 Αύγουστος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Συμμετρικά σχήματα

Δείτε και τα μαθήματα 14, 15, 16, 17 και 18 της Γεωμετρίας Α τάξης.

1.1 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Ορισμοί

  • Συμμετρικά Σημεία ως προς Κέντρο:

Έστω \(O\) ένα σταθερό σημείο του επιπέδου. Για κάθε σημείο \(A\), υπάρχει μοναδικό σημείο \(B\) τέτοιο, ώστε το \(O\) να είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος \(AB\). Το σημείο \(B\) ονομάζεται συμμετρικό του \(A\) ως προς κέντρο συμμετρίας το σημείο \(O\) (και αντίστροφα, το \(A\) είναι συμμετρικό του \(B\) ως προς το \(O\)).

  • Συμμετρικά Σχήματα ως προς Κέντρο:

Δύο επίπεδα σχήματα \(\Sigma\) και \(\Sigma'\) ονομάζονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο \(O\), αν και μόνο αν κάθε σημείο του σχήματος \(\Sigma'\) είναι συμμετρικό ενός σημείου του σχήματος \(\Sigma\) ως προς το \(O\), και αντίστροφα. Το σημείο \(O\) ονομάζεται κέντρο συμμετρίας του συνολικού σχήματος που αποτελείται από τα συμμετρικά σχήματα \(\Sigma\) και \(\Sigma'\).

  • Κέντρο Συμμετρίας Σχήματος:

Ένα σημείο \(O\) ονομάζεται κέντρο συμμετρίας ενός μεμονωμένου σχήματος, όταν για κάθε σημείο \(A\) αυτού του σχήματος, το συμμετρικό του σημείο \(A'\) ως προς το \(O\) είναι επίσης σημείο του ίδιου σχήματος. Ένα τέτοιο σχήμα λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία.

1.1.1 Παραδείγματα

  1. Ευθύγραμμο Τμήμα:

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ως κέντρο συμμετρίας το μέσο του. Τα άκρα του τμήματος είναι συμμετρικά σημεία ως προς αυτό το μέσο.

  1. Κύκλος:

Ο κύκλος παρουσιάζει κεντρική συμμετρία και έχει ως κέντρο συμμετρίας το κέντρο του.

Σε κάθε άσκηση κάντε το αντίστοιχο σχήμα

1.1.2 Ασκήσεις Κεντρικής Συμμετρίας με Αποδείξεις

Άσκηση 1 (Ισότητα συμμετρικού τμήματος)

Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός ευθυγράμμου τμήματος \(AB\) ως προς σημείο \(O\), το οποίο δεν ανήκει στον φορέα του \(AB\), είναι ευθύγραμμο τμήμα \(A'B'\) ίσο με το \(AB\).

Απόδειξη:

Έστω ευθύγραμμο τμήμα \(AB\) και σημείο \(O\) εκτός αυτού. Θεωρούμε \(A'\) και \(B'\) τα συμμετρικά των \(A\) και \(B\) ως προς το \(O\) αντίστοιχα.

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(\triangle AOB\) και \(\triangle A'OB'\):

  1. \(OA' = OA\) (λόγω συμμετρίας του \(A\) ως προς το \(O\)).
  2. \(OB' = OB\) (λόγω συμμετρίας του \(B\) ως προς το \(O\)).
  3. \(\widehat{A'OB'} = \widehat{AOB}\) ως κατακορυφήν γωνίες.

Σύμφωνα με το 1ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων (ΠΓΠ), τα τρίγωνα \(\triangle AOB\) και \(\triangle A'OB'\) είναι ίσα.

Επομένως, οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ίσες, δηλαδή \(A'B' = AB\).

Άσκηση 2 (Ισότητα συμμετρικών τριγώνων)

Εκφώνηση: Δίνεται τρίγωνο \(AB\Gamma\) και σημείο \(O\). Αν \(A', B', \Gamma'\) είναι τα συμμετρικά των κορυφών \(A, B, \Gamma\) ως προς το κέντρο \(O\) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα \(AB\Gamma\) και \(A'B'\Gamma'\) είναι συμμετρικά ως προς το \(O\) και ίσα.

Απόδειξη:

Λόγω της κεντρικής συμμετρίας των κορυφών ως προς το σημείο \(O\), ισχύουν οι σχέσεις: \[OA' = OA, \quad OB' = OB, \quad O\Gamma' = O\Gamma \quad\]

Από την απόδειξη της Ασκήσεως 1, το συμμετρικό κάθε ευθυγράμμου τμήματος ως προς κέντρο \(O\) είναι τμήμα ίσο με αυτό. Συνεπώς, για τις πλευρές των δύο τριγώνων έχουμε:

  1. \(A'B' = AB\)
  2. \(B'\Gamma' = B\Gamma\)
  3. \(A'\Gamma' = A\Gamma\)

Σύμφωνα με το 3ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων (ΠΠΠ), τα τρίγωνα \(AB\Gamma\) και \(A'B'\Gamma'\) είναι ίσα. Επειδή για κάθε σημείο του τριγώνου \(AB\Gamma\) το συμμετρικό του ως προς το \(O\) ανήκει στο \(A'B'\Gamma'\), τα δύο τρίγωνα είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο \(O\).

Άσκηση 3 (Ισότητα συμμετρικής γωνίας)

Εκφώνηση: Αν \(x'A'y'\) είναι η συμμετρική της γωνίας \(xAy\) ως προς κέντρο συμμετρίας ένα σημείο \(O\), το οποίο είναι εξωτερικό της γωνίας, να αποδείξετε ότι \(x'A'y' = xAy\).

Απόδειξη:

Έστω \(A'\) το συμμετρικό της κορυφής \(A\) ως προς το κέντρο \(O\). Θεωρούμε ένα σημείο \(B\) πάνω στην πλευρά \(Ax\) της γωνίας και ένα σημείο \(\Gamma\) πάνω στην πλευρά \(Ay\).

Λαμβάνουμε τα συμμετρικά τους σημεία \(B'\) και \(\Gamma'\) ως προς το κέντρο \(O\), τα οποία ορίζουν τις αντίστοιχες συμμετρικές ημιευθείες \(A'x'\) και \(A'y'\).

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(\triangle AB\Gamma\) και \(\triangle A'B'\Gamma'\):

  1. \(AB = A'B'\) (ως συμμετρικά τμήματα).
  2. \(A\Gamma = A'\Gamma'\) (ως συμμετρικά τμήματα).
  3. \(B\Gamma = B'\Gamma'\) (ως συμμετρικά τμήματα).

Από το 3ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων (ΠΠΠ), τα τρίγωνα \(\triangle AB\Gamma\) και \(\triangle A'B'\Gamma'\) είναι ίσα. Εφόσον τα τρίγωνα είναι ίσα, όλες οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες. Συνεπώς, προκύπτει άμεσα ότι οι γωνίες των κορυφών τους είναι ίσες, δηλαδή \(\widehat{x'A'y'} = \widehat{xAy}\).

Άσκηση 4 (Συμμετρικό του μέσου τμήματος)

Εκφώνηση: Αν \(M\) είναι το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος \(AB\) και \(O\) ένα σημείο εκτός του φορέα του \(AB\), να αποδείξετε ότι το συμμετρικό σημείο \(M'\) του \(M\) ως προς το \(O\) είναι το μέσο του συμμετρικού τμήματος \(A'B'\).

Απόδειξη:

Εφόσον το \(M\) είναι μέσο του \(AB\), ισχύει \(AM = MB\).

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(\triangle AOM\) και \(\triangle A'OM'\):

  1. \(OA = OA'\) (λόγω συμμετρίας).
  2. \(OM = OM'\) (λόγω συμμετρίας).
  3. \(\widehat{AOM} = \widehat{A'OM'}\) ως κατακορυφήν.

Τα τρίγωνα είναι ίσα από το κριτήριο ΠΓΠ, οπότε προκύπτει ότι \(A'M' = AM\) (1).

Με τον ίδιο τρόπο, συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(\triangle BOM\) και \(\triangle B'OM'\):

  1. \(OB = OB'\) (λόγω συμμετρίας).
  2. \(OM = OM'\) (λόγω συμμετρίας).
  3. \(\widehat{BOM} = \widehat{B'OM'}\) ως κατακορυφήν.

Τα τρίγωνα είναι ίσα από το κριτήριο ΠΓΠ, οπότε προκύπτει ότι \(B'M' = BM\) (2).

Επειδή \(AM = MB\), από τις σχέσεις (1) και (2) συνεπάγεται ότι \(A'M' = B'M'\). Καθώς τα σημεία \(A', M', B'\) είναι συνευθειακά (αφού η κεντρική συμμετρία διατηρεί τη συνευθειακότητα), το \(M'\) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος \(A'B'\).

Άσκηση 5 (Κέντρο συμμετρίας παραλληλογράμμου)

Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής \(O\) των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου \(AB\Gamma\Delta\) είναι κέντρο συμμετρίας του.

Απόδειξη:

Έστω παραλληλόγραμμο \(AB\Gamma\Delta\) και \(O\) το σημείο τομής των διαγωνίων του \(A\Gamma\) και \(B\Delta\).

Από τις γεωμετρικές ιδιότητες του παραλληλογράμμου, οι διαγώνιοί του διχοτομούνται στο σημείο τομής τους \(O\). Αυτό σημαίνει ότι:

  • Το \(O\) είναι το μέσο του \(A\Gamma\), άρα το συμμετρικό της κορυφής \(A\) ως προς το \(O\) είναι η κορυφή \(\Gamma\).

  • Το \(O\) είναι το μέσο του \(B\Delta\), άρα το συμμετρικό της κορυφής \(B\) ως προς το \(O\) είναι η κορυφή \(\Delta\).

Έστω \(M\) ένα τυχαίο σημείο πάνω στην πλευρά \(AB\) του παραλληλογράμμου και \(M'\) το συμμετρικό του ως προς το \(O\).

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(\triangle AOM\) και \(\triangle \Gamma OM'\):

  1. \(OA = O\Gamma\) (διότι το \(O\) είναι μέσο του \(A\Gamma\)).
  2. \(OM = OM'\) (από κατασκευή).
  3. \(\widehat{AOM} = \widehat{\Gamma OM'}\) ως κατακορυφήν.

Τα τρίγωνα είναι ίσα (ΠΓΠ), άρα η γωνία \(\widehat{O\Gamma M'}\) ισούται με τη γωνία \(\widehat{OAM}\).

Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες \(AB\) και \(\Gamma M'\) είναι παράλληλες. Επειδή όμως από τον ορισμό του παραλληλογράμμου ισχύει \(AB // \Gamma\Delta\), η ευθεία \(\Gamma M'\) συμπίπτει με την πλευρά \(\Gamma\Delta\). Συνεπώς, το σημείο \(M'\) ανήκει στην πλευρά \(\Gamma\Delta\) του παραλληλογράμμου.

Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι το συμμετρικό κάθε σημείου του παραλληλογράμμου ανήκει στο παραλληλόγραμμο, άρα το \(O\) είναι κέντρο συμμετρίας του.

1.2 ΑΞΟΝΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Ορισμοί

  • Συμμετρικά Σημεία ως προς Άξονα:

Δύο σημεία \(A\) και \(B\) ονομάζονται συμμετρικά ως προς άξονα συμμετρίας μια ευθεία \(\epsilon\), όταν η ευθεία \(\epsilon\) είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος \(AB\).

  • Συμμετρικά Σχήματα ως προς Άξονα:

Δύο σχήματα \(\Sigma\) και \(\Sigma'\) ονομάζονται συμμετρικά ως προς άξονα μια ευθεία \(\epsilon\), αν και μόνο αν κάθε σημείο του σχήματος \(\Sigma'\) είναι συμμετρικό ενός σημείου του σχήματος \(\Sigma\) ως προς την \(\epsilon\), και αντίστροφα.

  • Άξονας Συμμετρίας Σχήματος:

Μια ευθεία \(\epsilon\) ονομάζεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο \(A\) αυτού του σχήματος, το συμμετρικό του σημείο \(A'\) ως προς την ευθεία \(\epsilon\) είναι επίσης σημείο του ίδιου σχήματος. Ένα τέτοιο σχήμα λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία.

1.2.1 Παραδείγματα

  1. Ευθύγραμμο Τμήμα:

Το ευθύγραμμο τμήμα \(AB\) έχει δύο άξονες συμμετρίας: τη μεσοκάθετό του \(\mu\) και τον ίδιο τον φορέα του \(\epsilon\).

  1. Ισοσκελές Τρίγωνο:

Το ισοσκελές τρίγωνο \(AB\Gamma\) (\(AB = A\Gamma\)) έχει ως άξονα συμμετρίας τον φορέα \(\mu\) του ύψους του \(A\Delta\) που αντιστοιχεί στη βάση \(B\Gamma\).

1.2.2 Ασκήσεις Αξονικής Συμμετρίας με Αποδείξεις

Άσκηση 6 (Η διχοτόμος ως άξονας συμμετρίας)

Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας αυτής.

Απόδειξη:

Έστω γωνία \(\widehat{xOy}\) και \(Oz\) η διχοτόμος της.

Θεωρούμε τυχαίο σημείο \(M\) πάνω στην πλευρά \(Ox\) της γωνίας. Από το σημείο \(M\) φέρουμε κάθετη ευθεία προς τη διχοτόμο \(Oz\), η οποία τέμνει την άλλη πλευρά \(Oy\) στο σημείο \(M'\). Έστω \(\Delta\) το σημείο τομής της κάθετης αυτής με τη διχοτόμο \(Oz\) (δηλαδή \(MM' \perp Oz\)).

Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα \(\triangle O\Delta M\) (\(\widehat{\Delta} = 90^\circ\)) και \(\triangle O\Delta M'\) (\(\widehat{\Delta} = 90^\circ\)):

  1. \(O\Delta\) κοινή κάθετη πλευρά.
  2. \(\widehat{MO\Delta} = \widehat{M'O\Delta}\) (διότι η \(Oz\) είναι διχοτόμος της γωνίας).

Τα δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, έχοντας μια κάθετη πλευρά και μια προσκείμενη οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες.

Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι: \[M\Delta = \Delta M'\]

Επειδή \(MM' \perp Oz\) και \(M\Delta = \Delta M'\), η διχοτόμος \(Oz\) είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος \(MM'\).

Συνεπώς, το σημείο \(M'\) είναι το συμμετρικό του \(M\) ως προς την ευθεία \(Oz\).

Αυτό σημαίνει ότι για κάθε σημείο της γωνίας, το συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο ανήκει επίσης στη γωνία, άρα η διχοτόμος είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας.

Άσκηση 7 (Συμμετρικό τριγώνου ως προς πλευρά)

Εκφώνηση: Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τριγώνου \(AB\Gamma\) ως προς τον φορέα της πλευράς του \(B\Gamma\) είναι τρίγωνο \(A'B\Gamma\) ίσο με το \(AB\Gamma\).

Απόδειξη:

Έστω τρίγωνο \(AB\Gamma\). Θεωρούμε ως άξονα συμμετρίας την ευθεία που ορίζει η πλευρά \(B\Gamma\).

Λαμβάνουμε το συμμετρικό σημείο \(A'\) της κορυφής \(A\) ως προς τον άξονα \(B\Gamma\).

Επειδή οι κορυφές \(B\) και \(\Gamma\) ανήκουν πάνω στον άξονα συμμετρίας, τα συμμετρικά τους σημεία συμπίπτουν με τα ίδια τα σημεία \(B\) και \(\Gamma\) αντίστοιχα.

Συγκρίνουμε το αρχικό τρίγωνο \(AB\Gamma\) και το συμμετρικό του \(A'B\Gamma\):

  1. Η πλευρά \(B\Gamma\) είναι κοινή.
  2. \(BA' = AB\) (διότι η \(B\Gamma\) είναι μεσοκάθετος του \(AA'\), άρα το \(B\) ισαπέχει από τα άκρα \(A\) και \(A'\)).
  3. \(\Gamma A' = A\Gamma\) (διότι η \(B\Gamma\) είναι μεσοκάθετος του \(AA'\), άρα το \(\Gamma\) ισαπέχει από τα άκρα \(A\) και \(A'\)).

Σύμφωνα με το 3ο Κριτήριο Ισότητας Τριγώνων (ΠΠΠ), τα τρίγωνα \(AB\Gamma\) και \(A'B\Gamma\) είναι ίσα.

Άσκηση 8 (Ανισοτική σχέση αξονικής συμμετρίας)

Εκφώνηση: Δίνεται ευθεία \(\epsilon\) και δύο σταθερά σημεία \(A, B\) που βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την \(\epsilon\). Έστω \(A'\) το συμμετρικό του \(A\) ως προς την \(\epsilon\) και \(\Gamma\) το σημείο τομής της ευθείας \(BA'\) με την \(\epsilon\). Να αποδείξετε ότι για κάθε άλλο σημείο \(\Delta\) της ευθείας \(\epsilon\) ισχύει η ανισότητα \(B\Gamma + \Gamma A < B\Delta + \Delta A\).

Απόδειξη:

Επειδή η ευθεία \(\epsilon\) είναι ο άξονας συμμετρίας του τμήματος \(AA'\), η \(\epsilon\) είναι η μεσοκάθετος του \(AA'\).

Από τη χαρακτηριστική ιδιότητα της μεσοκαθέτου, κάθε σημείο της ευθείας \(\epsilon\) ισαπέχει από τα άκρα \(A\) και \(A'\).

Συνεπώς: \[\Gamma A = \Gamma A' \quad \text{και} \quad \Delta A = \Delta A' \quad\]

Για το σημείο \(\Gamma\), επειδή τα σημεία \(B, \Gamma, A'\) είναι συνευθειακά (από κατασκευή), το άθροισμα των αποστάσεων είναι: \[B\Gamma + \Gamma A = B\Gamma + \Gamma A' = BA'\]

Για το τυχαίο σημείο \(\Delta\) της ευθείας \(\epsilon\), σχηματίζεται το τρίγωνο \(\triangle B\Delta A'\). Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο αυτό, γνωρίζουμε ότι η πλευρά \(BA'\) είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο πλευρών: \[BA' < B\Delta + \Delta A'\]

Αντικαθιστώντας τις ίσες αποστάσεις στην παραπάνω ανισότητα, προκύπτει άμεσα: \[\mathbf{B\Gamma + \Gamma A < B\Delta + \Delta A}\]

Άσκηση 9 (Άξονας συμμετρίας ισοσκελούς τριγώνου)

Εκφώνηση: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(AB\Gamma\) (\(AB=A\Gamma\)) και \(M\) το μέσο της βάσης του \(B\Gamma\). Να αποδείξετε ότι η ευθεία \(AM\) είναι άξονας συμμετρίας του τριγώνου.

Απόδειξη:

Εφόσον το τρίγωνο \(AB\Gamma\) είναι ισοσκελές με \(AB=A\Gamma\) και το \(M\) είναι το μέσο της βάσης \(B\Gamma\), η διάμεσος \(AM\) προς τη βάση είναι ταυτόχρονα και ύψος του τριγώνου.

Δηλαδή, η ευθεία \(AM\) είναι κάθετη στη βάση \(B\Gamma\) στο μέσο της \(M\).

Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία \(AM\) είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος \(B\Gamma\).

Συνεπώς, σύμφωνα με τον ορισμό της αξονικής συμμετρίας:

  • Το συμμετρικό της κορυφής \(B\) ως προς την ευθεία \(AM\) είναι η κορυφή \(\Gamma\).
  • Το συμμετρικό της κορυφής \(\Gamma\) ως προς την ευθεία \(AM\) είναι η κορυφή \(B\).
  • Το συμμετρικό της κορυφής \(A\) ως προς την ευθεία \(AM\) είναι το ίδιο το σημείο \(A\), καθώς ανήκει πάνω στον άξονα συμμετρίας.

Επειδή για κάθε σημείο του τριγώνου \(AB\Gamma\) το συμμετρικό του ως προς την ευθεία \(AM\) ανήκει επίσης στο τρίγωνο, η ευθεία \(AM\) είναι άξονας συμμετρίας του τριγώνου.

Άσκηση 10 (Διαδοχικές συμμετρίες ως προς κάθετους άξονες)

Εκφώνηση: Έστω δύο κάθετες ευθείες \(\epsilon_1\) και \(\epsilon_2\) οι οποίες τέμνονται στο σημείο \(O\), και ένα τυχαίο σημείο \(M\) του επιπέδου. Αν \(M'\) είναι το συμμετρικό του \(M\) ως προς την ευθεία \(\epsilon_1\), και \(M''\) είναι

το συμμετρικό του \(M'\) ως προς την ευθεία \(\epsilon_2\), να αποδείξετε ότι:

  1. \(OM = OM''\)

  2. Τα σημεία \(M, O, M''\) είναι συνευθειακά.

Απόδειξη:

  1. Επειδή η ευθεία \(\epsilon_1\) είναι ο άξονας συμμετρίας του τμήματος \(MM'\), η \(\epsilon_1\) είναι η μεσοκάθετος του \(MM'\). Το σημείο \(O\), ως σημείο τομής των αξόνων, ανήκει στην ευθεία \(\epsilon_1\), επομένως ισαπέχει από τα άκρα \(M\) και \(M'\): \[OM = OM' \quad (1) \quad\]

  2. Επειδή η ευθεία \(\epsilon_2\) είναι ο άξονας συμμετρίας του τμήματος \(M'M''\), η \(\epsilon_2\) είναι η μεσοκάθετος του \(M'M''\). Το σημείο \(O\) ανήκει στην ευθεία \(\epsilon_2\), επομένως ισαπέχει από τα άκρα \(M'\) and \(M''\): \[OM' = OM'' \quad (2) \quad\] Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει άμεσα ότι \(OM = OM''\).

  3. Έστω \(K\) η προβολή του \(M\) (και του \(M'\)) πάνω στον άξονα \(\epsilon_1\) (δηλαδή το μέσο του \(MM'\)) και \(\Lambda\) η προβολή του \(M'\) (και του \(M''\)) πάνω στον άξονα \(\epsilon_2\) (δηλαδή το μέσο του \(M'M''\)). Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(\triangle OKM'\) και στο ορθογώνιο τρίγωνο \(\triangle O\Lambda M'\), οι οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές, αφού οι άξονες είναι κάθετοι μεταξύ τους (\(\epsilon_1 \perp \epsilon_2\)): \[\widehat{KOM'} + \widehat{M'O\Lambda} = 90^\circ\] Λόγω της αξονικής συμμετρίας, ισχύει η ισότητα των γωνιών: \[\widehat{MOK} = \widehat{KOM'} \quad \text{και} \quad \widehat{M'O\Lambda} = \widehat{\Lambda OM''}\] Αθροίζουμε τις γωνίες για να βρούμε τη συνολική γωνία \(\widehat{MOM''}\): \[\widehat{MOM''} = \widehat{MOK} + \widehat{KOM'} + \widehat{M'O\Lambda} + \widehat{\Lambda OM''} = 2(\widehat{KOM'} + \widehat{M'O\Lambda}) = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ\] Εφόσον η γωνία \(\widehat{MOM''}\) είναι ίση με \(180^\circ\), οι ημιευθείες \(OM\) and \(OM''\) είναι αντικείμενες, πράγμα που σημαίνει ότι τα σημεία \(M, O, M''\) είναι συνευθειακά.